{"id":1044,"date":"2019-06-06T08:20:53","date_gmt":"2019-06-06T06:20:53","guid":{"rendered":"https:\/\/lab.fawno.com\/?p=1044"},"modified":"2021-01-14T13:58:26","modified_gmt":"2021-01-14T12:58:26","slug":"","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/lab.fawno.org.es\/en\/2019\/06\/06\/apuntes-de-electronica-circuito-rl-en-continua\/","title":{"rendered":"","raw":""},"content":{"rendered":"","protected":false,"raw":""},"excerpt":{"rendered":"","protected":false,"raw":""},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_coblocks_attr":"","_coblocks_dimensions":"","_coblocks_responsive_height":"","_coblocks_accordion_ie_support":"","_es_post_content":"\n

En una entrada anterior<\/a> realic\u00e9 el an\u00e1lisis de la carga y descarga del condensador en un circuito RC en continua. Hoy le toca al circuito RL en continua.<\/p>\n\n\n\n

Antes de analizar matem\u00e1ticamente el circuito realizar\u00e9 un an\u00e1lisis funcional del mismo. El circuito es una fuente de tensi\u00f3n E que alimenta en serie una inductancia L y una resistencia R:<\/p>\n\n\n\n

E = V_L + V_R<\/pre><\/div>\n\n\n\n
En el instante inicial suponemos que la corriente es cero. Por tanto la tensi\u00f3n en la resistencia es cero y la tensi\u00f3n en el inductor es igual a la de la fuente de tensi\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n
t = 0, i = 0\\\\\n\\vphantom{}\\\\\nE = V_L + V_R = V_L + R\\cdot{}i = V_L<\/pre><\/div>\n\n\n\n
La resistencia del inductor es idealmente nula, por tanto en el instante inicial no deber\u00eda tener tensi\u00f3n. Sin embargo, como ya vimos en la entrada sobre las bobinas<\/a>, la respuesta de la inductancia es oponerse a la variaci\u00f3n positiva de la corriente induciendo una tensi\u00f3n que se oponga a dicha variaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n
v=-L\\frac{di}{dt}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Esta expresi\u00f3n es la que vimos como caracter\u00edstica de la inductancia<\/strong>. Si nos fijamos en esta expresi\u00f3n y en el valor de la tensi\u00f3n de la bobina en <\/strong>t = 0<\/strong><\/em> nos damos cuenta de que en ese instante el incremento de la corriente es positivo y por tanto la tensi\u00f3n inducida deber\u00eda ser negativa... y sin embargo es positiva: \u00bfqu\u00e9 est\u00e1 pasando?<\/strong><\/p>\n\n\n\n
Lo que pasa es que el signo negativo de la expresi\u00f3n caracter\u00edstica es un enga\u00f1o<\/strong>... bueno, es un recordatorio de c\u00f3mo act\u00faa la inductancia<\/strong>. Si lo prefer\u00eds es una regla nemot\u00e9cnica que no hay que utilizar en los an\u00e1lisis<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n
Por tanto la expresi\u00f3n que hay que utilizar para el an\u00e1lisis es esta:<\/p>\n\n\n\n
\\tag{1} v=L\\frac{di}{dt}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Seg\u00fan pasa el tiempo la corriente va aumentando hasta que llega a su m\u00e1ximo y se estabiliza. En ese momento la variaci\u00f3n de la misma es nulo (di = 0<\/em>) y por tanto la tensi\u00f3n en la bobina tambi\u00e9n es cero.<\/p>\n\n\n\n
Hasta aqu\u00ed ser\u00eda el equivalente al circuito de carga del condensador: hemos tomado un inductor descargado<\/em> y le hemos aplicado una corriente hasta que ha quedado cargado<\/em>.<\/p>\n\n\n\n
En este instante, con la corriente estable y la tensi\u00f3n de la bobina igual a cero provocamos un cambio en el circuito: hacemos que la fuente de alimentaci\u00f3n sea un cortocircuito virtual (E = 0<\/em>). Este instante ser\u00e1 el t = 0<\/em> del circuito de descarga. Y el inicio del an\u00e1lisis matem\u00e1tico.<\/p>\n\n\n\n
An\u00e1lisis matem\u00e1tico<\/h3>\n\n\n\n
Veamos las condiciones iniciales:<\/p>\n\n\n\n
t = 0, E = V_L + V_R = 0\\\\\n\\vphantom{} \\\\\n\\tag{2} V_L = -V_R=-R\\cdot{}i<\/pre><\/div>\n\n\n\n
A partir de este punto s\u00f3lo trataremos con la tensi\u00f3n de la bobina, por lo que no utilizar\u00e9 sub\u00edndice para la tensi\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n
Dando la vuelta a la expresi\u00f3n (2) podemos calcular la variaci\u00f3n de la corriente en funci\u00f3n de la variaci\u00f3n de la tensi\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n
\\tag{3} di = -\\frac{1}{R}dv<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Podemos fijarnos c\u00f3mo aparece el signo negativo que nos indica que una disminuci\u00f3n de la tensi\u00f3n ocasiona un aumento de la corriente y viceversa. En estas expresiones podemos leer dv<\/em> y di<\/em> como delta v<\/em> y delta i<\/em>, es decir podr\u00edamos sustituir la simbolog\u00eda utilizada en c\u00e1lculo diferencial por la simbolog\u00eda utilizada para expresar variaciones:<\/p>\n\n\n\n
\\Delta{i} = -\\frac{1}{R}\\Delta{v}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Por eso tiene sentido el signo negativo, porque si la tensi\u00f3n disminuye, la variaci\u00f3n es negativa y por tanto la variaci\u00f3n de la corriente es positiva y en consecuencia la misma aumenta.<\/p>\n\n\n\n
Retomamos la ecuaci\u00f3n caracter\u00edstica de la bobina (1) con la expresi\u00f3n de la corriente en (3):<\/p>\n\n\n\n
\\tag{4} v=-\\frac{L}{R}\\frac{dv}{dt}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Preparamos (4) para integrar y procedemos:<\/p>\n\n\n\n
-\\frac{R}{L}dt = \\frac{1}{v}dv\\\\\n\\vphantom{}\\\\\n\\int{-\\frac{R}{L}dt} = \\int{\\frac{1}{v}dv}\\\\\n\\vphantom{}\\\\\n\\tag{5} -\\frac{R}{L}t+K=\\ln{v}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Hallamos el valor de K:<\/p>\n\n\n\n
K=\\frac{R}{L}t+\\ln{v}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
En el instante inicial t = 0<\/em> e v = V<\/em>0<\/em><\/sub>:<\/p>\n\n\n\n
\\tag{6} K=\\ln{V_0}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Sustituimos en (5) el valor de K:<\/p>\n\n\n\n
-\\frac{R}{L}t+\\ln{V_0}=\\ln{i}\\\\\n\\vphantom{}\\\\\n-\\frac{R}{L}t=\\ln{v}-\\ln{V_0}\\\\\n\\vphantom{}\\\\\n-\\frac{R}{L}t=\\ln{\\frac{v}{V_0}}\\\\\n\\vphantom{}\\\\\n\\tag{7} e^{-tR\/L}=\\frac{v}{V_0}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Y finalmente despejamos la tensi\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n
\\tag{8} \\Large \\boxed{v=V_0\u00b7e^{-tR\/L}}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Si definimos tau <\/em>como:<\/p>\n\n\n\n
\\tau=\\frac{L}{R}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Entonces la expresi\u00f3n final (8) nos queda as\u00ed:<\/p>\n\n\n\n
\\tag{9} \\Large \\boxed{v=V_0\u00b7e^{-t\/\\tau}}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Si recordamos la expresi\u00f3n para el circuito RC<\/a>:<\/p>\n\n\n\n
\\tag{10} \\Large \\boxed{i=I_0\u00b7e^{-t\/RC}}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Y definimos tau<\/em> como:<\/p>\n\n\n\n
\\tau=RC<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Entonces la expresi\u00f3n del circuito RC (10) nos queda as\u00ed:<\/p>\n\n\n\n
\\tag{11} \\Large \\boxed{i=I_0\u00b7e^{-t\/\\tau}}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Comparemos las expresiones del circuito RL y RC juntas:<\/p>\n\n\n\n
\\Large v=V_0\u00b7e^{-t\/\\tau}\n\\vphantom{}\\\\\n\\Large i=I_0\u00b7e^{-t\/\\tau}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
No me vais a negar que es maravilloso y justo lo que os expliqu\u00e9 en mi post de las bobinas<\/a>: que el comportamiento de las bobinas era el inverso<\/em> al de los condensadores.<\/p>\n\n\n\n
Lo de tau<\/em> no es un invento m\u00edo, por supuesto. Tau<\/em>, en electr\u00f3nica se denomina constante de tiempo y como hemos visto tiene la siguiente expresi\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n
\\tau=RC=\\frac{L}{R}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
El porqu\u00e9 definimos tau<\/em> de esta manera es porque as\u00ed podemos expresar el tiempo como el numero de veces que transcurre la constante de tiempo<\/em>. Y adem\u00e1s sabemos que cuando t = 5<\/em>\u03c4 podemos considerar el circuito estable ya que:<\/p>\n\n\n\n
e^{-5}=0.0067<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Es decir, la tensi\u00f3n\/corriente en ese instante es tan s\u00f3lo un 0.67% del valor inicial: algo normalmente despreciable.<\/p>\n\n\n\n
Como premio por aguantar hasta el final os dejo esta bonita simulaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n